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 Funções iguais Duas funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐶 → 𝐷 são iguais se, e somente se, apresentarem: a) domínios iguais (𝐴 = 𝐶);  b) contradomínios iguais (𝐵 = 𝐷);  c) 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 do domínio. Isso equivale a dizer que duas funções 𝑓 e 𝑔 são iguais se, e somente se, forem conjuntos iguais de pares ordenados. ex:  Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!! No próximo post veremos: Fermat e os Lugares Geométricos - Síntese. Referências: DE OLIVEIRA, Prof. Me. Mateus Souza. Introdução às: Funções. Introdução ás Funções, 2022. Disponível em: https://ava.ifba.edu.br/mod/resource/view.php?id=172084. Acesso em: 14 nov. 2022.  BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Giovanni ; DE SOUZA, Paulo Câmera . Prisma matemática : Conjuntos e Funções. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020. v. 1. 

 Intervalos reais  Existem subconjuntos de r, chamados de intervalos reais, que são determinados por desigualdades. Os intervalos podem ser representados de diversas maneiras.  Dados dois números reais a e b, chamados de extremos do intervalo, com a < b, nós teremos:  Intervalo aberto  intervalo aberto de extremos 𝑎 e 𝑏 é o conjunto ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} que também pode ser indicado por 𝑎 ⸺ 𝑏.  intervalo fechado de extremos 𝑎 e 𝑏 é o conjunto ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} que também pode ser indicado por 𝑎 |⸺| 𝑏.  intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos 𝑎 e 𝑏 é o conjunto -𝑎, 𝑏, = *𝑥 ∈ ℝ ; 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏+ que também pode ser indicado por 𝑎 |⸺ 𝑏.  intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos 𝑎 e 𝑏 é o conjunto -𝑎, 𝑏, = *𝑥 ∈ ℝ ; 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏+ que também pode ser indicado por 𝑎 ⸺| 𝑏. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e...

 Conjunto dos números racionais  O conjunto dos números racionais, que indicamos por q, é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma a/b , sendo a e b inteiros e b  ≠  0:  Q = {x|x = a/b, com a  ∉ Z e b  ∉ Z }  ex:  obs: podemos escrever os números inteiros como frações com o denominador 1; Assim, todos os números inteiros pertencem ao conjunto dos racionais.  Um número racional pode ser representado de duas maneiras: na forma fracionária, como a razão de dois números inteiros, sendo o denominador não nulo; e na forma decimal, que pode ser obtida quando dividimos o numerador pelo denominador que aparecem na forma fracionária. obs: Nesse caso, a parte decimal tem uma quantidade finita de algarismos ou é infinita e periódica. Para representar, na forma decimal, um número racional escrito como razão de dois números inteiros, dividimos o numerador pelo denominador.  ex:  O resultado é um número decim...

 Conjunto dos números naturais Chama-se conjunto dos números naturais — símbolo ℕ — o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... . ℕ = {0, 1, 2, 3, …} Nesse conjunto são definidas duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades:  [A.1] associativa da adição 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ. [A.2] comutativa da adição 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 para todos 𝑎, 𝑏, ∈ ℕ. [A.3] elemento neutro da adição 𝑎 + 0 = 𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ. [M.1] associativa da multiplicação 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ. [M.2] comutativa da multiplicação 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 para todos 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ. [M.3] elemento neutro da multiplicação 𝑎 ∙ 1𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ. [D] distributiva da multiplicação relativamente à adição 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎c para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.   Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são ampliações de ℕ, isto é, contêm ℕ, têm uma adição e uma multiplicação com as ...

 Reunião de Conjuntos  Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.  𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵} O conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 (lê-se “A reunião B” ou “A u B”) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B.  Notemos que x é elemento de 𝐴 ∪ 𝐵 se ocorre ao menos uma das condições seguintes: 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵. ex:  Propriedades da reunião Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:  1ª) 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 (idempotente)  2ª) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 (elemento neutro) 3ª) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (comutativa) 4ª) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (associativa) Interseção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.  𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}  O conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 (lê-se “A inter B”) é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B) simultaneament...

Conjuntos iguais Dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 são iguais quando todo elemento de 𝐴 pertence a 𝐵 e, reciprocamente, todo elemento de 𝐵 pertence a 𝐴. Em símbolos:  𝐴 = 𝐵 ⇔ (∀ 𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵) ex:  Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos; portanto: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑑, 𝑐, 𝑏, 𝑎} = {𝑏, 𝑎, 𝑐, 𝑑}  Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo absolutamente inútil, pois, por exemplo: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑑, 𝑑, 𝑑}  para conferir basta usar a definição. Assim, preferimos sempre a notação mais simples. E se não for igual? Se 𝐴 não é igual a 𝐵, escrevemos 𝐴 ≠ 𝐵.  É evidente que 𝐴 é diferente de 𝐵 se existe um elemento de 𝐴 não pertencente a 𝐵 ou existe em 𝐵 um elemento não pertencente a 𝐴.  ex: Subconjuntos  Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a ...