Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Naturais e Inteiros - 1/4
Conjunto dos números naturais
Chama-se conjunto dos números
naturais — símbolo ℕ — o conjunto formado
pelos números 0, 1, 2, 3, ... .
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
Nesse conjunto são definidas duas operações
fundamentais, a adição e a multiplicação, que
apresentam as seguintes propriedades:
[A.1] associativa da adição 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.
[A.2] comutativa da adição 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 +
𝑎 para todos 𝑎, 𝑏, ∈ ℕ.
[A.3] elemento neutro da adição 𝑎 + 0 = 𝑎
para todo 𝑎 ∈ ℕ.
[M.1] associativa da multiplicação 𝑎𝑏 𝑐 =
𝑎(𝑏𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.
[M.2] comutativa da multiplicação 𝑎𝑏 =
𝑏𝑎 para todos 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.
[M.3] elemento neutro da multiplicação
𝑎 ∙ 1𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ.
[D] distributiva da multiplicação
relativamente à adição 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎c
para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.
Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem
apresentados são ampliações de ℕ, isto é, contêm ℕ, têm uma
adição e uma multiplicação com as propriedades formais já
apresentadas e outras mais, que constituem justamente o motivo
determinante da ampliação.
Assim, dado um natural 𝑎 ≠ 0, o simétrico de 𝑎 não existe em
ℕ: −𝑎 ∉ ℕ.
O resultado disso é que o símbolo 𝑎 − 𝑏 não tem significado em ℕ
para todos 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, isto é, em ℕ a subtração não é uma operação.
São considerados números naturais:
Conjunto dos números inteiros
Chama-se conjunto dos números
inteiros — símbolo ℤ — o seguinte
conjunto:
ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Operações em ℤ no conjunto ℤ são definidas também as
operações de adição e multiplicação que
apresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3],
[M.1], [M.2], [M.3] e [D], a propriedade:
[A.4] simétrico ou oposto para a adição:
Para todo 𝑎 ∈ ℤ existe −𝑎 ∈ ℤ tal que
𝑎 + −𝑎 = 0
Devido à propriedade [A.4], podemos definir
em ℤ a operação de subtração, estabelecendo
que 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) para todos 𝑎, 𝑏 ∈
ℤ.
Os números inteiros e a reta
Os números inteiros podem ser representados
sobre uma reta orientada por meio do
seguinte procedimento:
1º) sobre a reta estabelecemos um sentido
positivo e um ponto O (origem), que
representa o inteiro 0 (zero):
3º) para cada inteiro positivo n, a partir de 0, marcamos um segmento de medida 𝒏𝒖
no sentido positivo cuja extremidade
representará n e marcamos um segmento de
medida 𝒏𝒖 no sentido negativo cuja
extremidade representará o inteiro −𝑛.
Divisibilidade
Uma importante noção que devemos ter sobre
números inteiros é o conceito de divisor.
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b
— símbolo 𝑎 | 𝑏 — quando existe um inteiro
c tal que 𝑐𝑎 = 𝑏.
𝑎 | 𝑏 ⇔ (∃ 𝑐 ∈ ℤ; 𝑐 ∙ 𝑎 = 𝑏)
ex: 1º) 2 | 12 pois 6 ∙ 2 = 12
2º) 3 | − 18 pois −6 ∙ 3 = −18
3º) −5 | 20 pois −4 ∙ −5 = 20
4º) 0| 0 pois 1 ∙ 0 = 0
Quando 𝑎 é divisor de 𝑏, dizemos que “𝑏 é
divisível por 𝑎” ou “𝑏 é múltiplo de 𝑎”.
Para um inteiro a qualquer, indicamos com
𝐷(𝑎) o conjunto de seus divisores e com
𝑀(𝑎) o conjunto de seus múltiplos.
ex: 1º) 𝐷 (2) = {1, −1, 2, −2}
𝑀 (2) = {0, ±2, ±4, ±6, …}
2º) 𝐷 (−3) = {1, −1, 3, −3}
𝑀 (−3) = {0, ±3, ±6, ±9, …}
3º) 𝐷 (0) = ℤ
𝑀 (0) = {0}
Dizemos que um número inteiro p é primo quando
𝑝 ≠ 0, 1 𝑒 − 1 e 𝐷 (𝑝) = {1, −1, 𝑝, −𝑝}.
Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!
No próximo post veremos: Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Racionais e Irracionais 2/4.
Referencias:
DE OLIVEIRA, Prof. Me. Mateus Souza. Conjuntos: Numéricos. Conjuntos Numéricos, 2022. Disponível em: https://ava.ifba.edu.br/mod/resource/view.php?id=168639. Acesso em: 11 nov. 2022.
BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Giovanni ; DE SOUZA, Paulo Câmera . Prisma matemática: Conjuntos e Funções. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020. v. 1.
DE OLIVEIRA, Raul Rodrigues . Exercícios de: Matemática. EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS NATURAIS, 2022. Disponível em: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-numeros-naturais.htm#questao-1. Acesso em: 11 nov. 2022.
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