Noções de Teoria de Conjuntos - Reunião de Conjuntos, Intersecção de Conjuntos, Propriedades, Diferença de Conjuntos, Complementar de B em A - 4/4.
Reunião de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
reunião de A e B o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A ou a B.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
O conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 (lê-se “A reunião B” ou “A
u B”) é formado pelos elementos que pertencem
a pelo menos um dos conjuntos A e B.
Notemos que x é elemento de 𝐴 ∪ 𝐵 se ocorre
ao menos uma das condições seguintes: 𝑥 ∈
𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵.
Propriedades da reunião
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as
seguintes propriedades:
1ª) 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 (idempotente)
2ª) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 (elemento neutro)
3ª) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (comutativa)
4ª) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (associativa)
Interseção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
interseção de A e B o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e a B.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}
O conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 (lê-se “A inter B”) é formado
pelos elementos que pertencem aos dois
conjuntos (A e B) simultaneamente. Se
𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, isso significa que 𝑥 pertence a A e
também 𝑥 pertence a B. O conectivo e colocado
entre duas condições significa que elas devem ser
obedecidas ao mesmo tempo.
Propriedades da interseção
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as
seguintes propriedades:
1ª) 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 (idempotente)
2ª) 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴 (elemento neutro)
3ª) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (comutativa)
4ª) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 (associativa)
Conjuntos disjuntos
Quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, isto é, quando os
conjuntos A e B não têm elemento comum, A
e B são denominados conjuntos disjuntos.
Propriedades
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer,
valem as seguintes propriedades, que interrelacionam a reunião e a interseção de
conjuntos:
ex: 1ª) 𝐴 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴
2ª) 𝐴 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴
3ª) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶
(distributiva da reunião em relação à
interseção)
Diferença de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
diferença entre A e B o conjunto formado
pelos elementos de A que não pertencem a B.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
ex: 1º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} − {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} = {𝑎}
2º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} − {𝑏, 𝑐} = {𝑎}
3º) {𝑎, 𝑏} − {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} = {𝑎, 𝑏}
Complementar de B em A
Dados dois conjuntos A e B, tais que 𝐵 ⊂ 𝐴, o conjunto
𝐴 − 𝐵 chama-se complementar de B em relação a A, isto é, o
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Com o
símbolo ∁𝐴
𝐵
ou 𝐵 indicamos o complementar de B em relação a
A. Notemos que ∁𝐴
𝐵
só é definido para 𝐵 ⊂ 𝐴, e aí temos:
∁𝐴
𝐵= 𝐴 − 𝐵
ex: 1º) Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}e 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒}, então: ∁𝐴
𝐵= {𝑎, 𝑏}
2º) Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = 𝐵, então: ∁𝐴
𝐵= ∅
3º) Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} e 𝐵 = ∅, então:∁𝐴
𝐵= 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = A
Propriedades da complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes
propriedades:
1ª) ∁𝐴
𝐵 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑒 ∁𝐴
𝐵 ∪ 𝐵 = 𝐴
2ª) ∁𝐴
𝐴= ∅ 𝑒 ∁𝐴
∅= 𝐴
3ª) 𝐶𝐴 (∁𝐴
𝐵) 𝐵 (complementar em relação a A do complementar
de B em relação a A)
4ª) ∁𝐴
(𝐵∩𝐶) = ∁𝐴
𝐵 ∪ ∁𝐴
𝐶
5ª) ∁𝐴
(𝐵∪𝐶) = ∁𝐴
𝐵 ∩ ∁C A
Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!
No próximo post veremos: Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Naturais e Inteiros - 1/4.
Referencias:
DE OLIVEIRA, Prof. Me. Mateus Souza. Noções de Teoria: dos Conjuntos. Noções de Teoria dos conjuntos, 2022. Disponível em: https://ava.ifba.edu.br/mod/resource/view.php?id=159528. Acesso em: 10 nov. 2022.
BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Giovanni ; DE SOUZA, Paulo Câmera . Prisma matemática: Conjuntos e Funções. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020. v. 1
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