Noções de Teoria de Conjuntos - Conjuntos Iguais, Subconjuntos, Propriedades da Inclusão e Conjunto das Partes - 3/4

Conjuntos iguais

Dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 são iguais quando todo elemento de 𝐴 pertence a 𝐵 e, reciprocamente, todo elemento de 𝐵 pertence a 𝐴. Em símbolos: 

𝐴 = 𝐵 ⇔ (∀ 𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵)

ex: 

Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos; portanto:

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑑, 𝑐, 𝑏, 𝑎} = {𝑏, 𝑎, 𝑐, 𝑑} 

Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo absolutamente inútil, pois, por exemplo:

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑑, 𝑑, 𝑑}

 para conferir basta usar a definição. Assim, preferimos sempre a notação mais simples.

E se não for igual?

Se 𝐴 não é igual a 𝐵, escrevemos 𝐴 ≠ 𝐵. 

É evidente que 𝐴 é diferente de 𝐵 se existe um elemento de 𝐴 não pertencente a 𝐵 ou existe em 𝐵 um elemento não pertencente a 𝐴. 

ex:

Subconjuntos 

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. 

Com a notação 𝐴 ⊂ B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”.

O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Em símbolos, a definição fica assim:

A ⊂ B ⇔ (∀ 𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) 

Quando 𝐴 ≠ 𝐵, também podemos escrever 𝐵 ⸧ 𝐴, que se lê “B contém A”. 

Com a notação 𝐴 ⊄ B indicamos que “A não está contido em B”, isto é, a negação de 𝐴 ⊂ B. 

É evidente que 𝐴 ⊄ 𝐵 somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B. Assim, por exemplo, temos: 

1º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

 2º) {𝑎, 𝑏} ⊄ {𝑐, d, 𝑒} 

Propriedades da inclusão 

Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:

1ª) ∅ ⊂ A

2ª) 𝐴 ⊂ 𝐴 (reflexiva)

3ª) (𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐴) = B (antissimétrica)

4ª) (𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐶) ⇒ 𝐴 ⊂ 𝐶 (transitiva) 

A demonstração dessas propriedades é imediata, com exceção da 1ª. 

Conjunto das partes

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A – notação ℘(𝐴) – aquele que é formado por todos os subconjuntos de 𝐴. Em símbolos: 

℘ (𝐴) = {X; X ⊂ A}

Exemplos: 1º) Se 𝐴 = {𝑎}, os elementos de ℘ (𝐴) são ∅ e {𝑎}, isto é:

℘ (𝐴) = {∅, {a}}

Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!

No próximo post veremos: Noções de Teoria de Conjuntos - Reunião de Conjuntos, Intersecção de Conjuntos, Propriedades, Diferença de Conjuntos, Complementar de B em A - 4/4.

Referencias:

DE OLIVEIRA, Prof. Me. Mateus Souza. Noções de Teoria: dos Conjuntos. Noções de Teoria dos conjuntos, 2022. Disponível em: https://ava.ifba.edu.br/mod/resource/view.php?id=159528. Acesso em: 10 nov. 2022. 

BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Giovanni ; DE SOUZA, Paulo Câmera . Prisma matemática: Conjuntos e Funções. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020. v. 1