Progressão Geométrica - 2 assuntos

 Progressão Geométrica 

Para ser uma progressão geométrica ela precisa ser uma sequência, onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma contate. 

A constate é denominada de razão da progressão geométrica, representada pela letra q.

Representando uma PG pela sequência (a1 , a2, a3, ..., an – 1, an , an + 1, ...) e aplicando

a definição, temos:

ex: 

Considerando o primeiro termo e o valor da razão, podemos classificar uma PG

como crescente, decrescente, oscilante ou constante.

Dizemos que uma P.G é crescente quando: 

• o primeiro termo é um número real positivo, e a razão é um número real maior do

que 1, isto é, a1  > 0 e q > 1.

ex:

• o primeiro termo é um número real negativo, e a razão é um número real entre

zero e 1, isto é, a1 < 0 e 0 < q < 1. 

ex: 

Dizemos que uma PG é decrescente quando:

• o primeiro termo é um número real positivo, e a razão é um número real entre

zero e 1, isto é, a1  > 0 e 0 < q < 1.

ex:

• o primeiro termo é um número real negativo, e a razão é um número real maior

do que 1, isto é, a1  <  0 e q > 1.

ex: 

Para uma P.G ser oscilante o primeiro termo é um número real diferente de zero, e a razão é um número real diferente de zero, e a razão é um número negativo, isto é, a1 ≠ 0 e q < 0.

ex: 

Uma PG é classificada como constante quando sua razão é igual a 1. 

ex: 

Termo Geral de Uma P.G.

Seja uma PG infinita qualquer (a1 , a2, a3, a4, ..., an - 1, an, an + 1, ...).

Usando a definição de PG, temos:

ex:

Observe que há uma relação entre o índice do termo e o expoente

dá razão da progressão: 

ex: 

Uma vez que essa relação também vale para uma PG qualquer finita

(a1, a2, a3, ..., an – 1, an + 1), temos:

ex: 

em que: 

an é o termo geral (ou enésimo termo);

a1 é o primeiro termo;

n é a ordem do termo;

q é a razão.

Essa expressão é conhecida como fórmula do termo geral de

uma PG.

Soma dos termos de uma P.G finita e infinita

Finita 

Considere uma PG finita (a1 , a2, a3, ..., an ) de razão q.

Podemos obter a soma Sn de todos os termos dessa PG considerando os seguintes casos:

1o caso: Se q = 1, a PG é constante, e como todos os termos são iguais, temos Sn = a1n.

2o caso: Se q 5 1, a PG não é constante, assim, temos:

Sn = a1 + a1q + a1 q² + a1 q³ + ... + a1 (q elevado a n - 1) - I

Agora, multiplicamos ambos os membros da equação acima por q. Então:

qSn = a1q + a1q² + a1q³ + a1q⁴ + ... + a1  (q elevado a n) - II

Fazendo II - I, temos:

ex: 

Infinito

Considere uma sequência (an ) cujo termo geral é dado por a = 1/2 (elevado a n)

para n ∈ N*. Vamos determinar os primeiros termos dessa sequência substituindo valores para n na expressão do termo geral. Assim, temos: 

ex: 

Essa sequência é a PG (0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ...) com a1 = 1/2 e razão q = 1/2.

Note que, à medida que aumentamos o valor do expoente n, o valor do termo an fica cada vez mais

próximo de zero.

Para acharmos a soma dos termos da P.G infinita, indicada por S, é: 

ex:

Progressão Geométrica e Função Exponencial

A função exponencial de base a é definida pela lei y = ax , com a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1.

Considerando o domínio de uma função f os números naturais não nulos, a lei que relaciona qualquer n ∈ D(f) a f(n) é f(n) = b (elevado a n) e podemos escrever:

ex: 

Assim temos: 

f(n) = b (elevado a n) 

f(n + 1) = b(elevado a n + 1), ou seja, f(1), f(2), ..., f(n), ... formam uma PG de razão b.

Então, considerando a sequência (a1 , a2, a3, ..., an , an + 1, ...), o quociente entre cada termo

e o anterior é constante e igual a b, ou seja, toda função exponencial f: N* ➡ R definida por

f(n) = bn , com b ∈ R, b > 0 e b ≠ 1, é uma PG de razão q = b.

Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!

No próximo post veremos: Minha aprendizagem durante o ano.

Referencias:

BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy; DE SOUZA, Paulo Roberto Câmara. Prisma Matemática: Funções e Progressão. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020.