Função Exponencial - Todo assunto

 Função Exponencial

A função exponencial é um tipo de função real.

A função f: R ➡ R+* dada por f(x) = aˣ , com a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1, é denominada função exponencial de base a. 

ex: 

Vamos entender a definição:

• Se a < 0, então f(x) = aˣ não estaria definida para todo x real. 

• Se a = 1, então f(x) = aˣ é uma função constante, pois: f(x) = aˣ ➡ f(x) = 1 para todo x real.

• Se a = 0 e x < 0, aˣ não está definida em r.

• Se a = 0 e x = 0, f(0) = 1.

• Se a = 0 e x > 0, f é uma função constante igual a 0.

Gráfico da Função Exponencial

1º caso: a > 1

Quanto maior o valor do expoente x, maior é a potência ax , ou seja, se a > 1, a função f(x) = ax é crescente em todo o seu domínio (quando o valor de x cresce, o valor de a (elevado a x ) também cresce). 

2o caso: 0 < a < 1

Quanto maior o valor do expoente x, menor é a potência a (elevado a x ), ou seja, se 0 < a < 1, a função f(x) = a (elevado a x ) é decrescente em todo o seu domínio (quando o valor de x cresce, o valor de a (elevado a x )  decresce).  

A partir da definição da função exponencial, dada por f(x) = aˣ (com a > 0 e a ≠ 1) e da observação dos dois gráficos, temos:

• o domínio da função exponencial dada por f(x) = a (elevado a x ) é D(f) = R;

• o contradomínio da função exponencial dada por f(x) = a (elevado a x ) é CD(f) = R+*;

• o conjunto imagem da função exponencial dada por f(x) =a (elevado a x ) é Im(f) =R+*; 

Obs: 

A função exponencial dada por f(x) = aˣ é injetora, pois quaisquer dois elementos distintos do seu domínio têm imagens distintas. Além disso, como todo elemento do contradomínio é imagem pela função de um elemento do domínio, essa função também é sobrejetora. Desse modo, podemos dizer que a função exponencial é bijetora.

A função f(x) = eˣ

Vamos agora conhecer a função f: R ➡ R+* definida por f(x) = eˣ , que é uma função exponencial cuja base é o número e. 

Note que o gráfico de f se aproxima bastante do eixo x, mas nunca o toca.

Para calcular valores da função f(x) = eˣ podemos usar uma calculadora científica, que tem um botão específico para isso. 

Equação Exponencial

Toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de pelo menos uma potência de base real, positiva e diferente de 1, é denominada equação exponencial. 

ex:

Como a função exponencial, dada por f(x) = aˣ , é injetora e sendo a > 0 e a ≠ 1, vale a

seguinte propriedade:

ex:

Inequações exponenciais

Toda desigualdade que apresenta incógnita no expoente de, pelo menos,

uma potência de base real, positiva e diferente de 1 é denominada inequação

exponencial.

ex: 

 Com base no crescimento e no decrescimento da função exponencial, dada por f(x) = aˣ , aplicamos as propriedades a seguir.

1º caso: a > 1 (função crescente)

Quando a base da potência é maior do que 1, a relação de desigualdade entre as potências se mantém entre os expoentes.

2º caso: 0 < a < 1 (função decrescente)

Quando a base da potência está entre 0 e 1, a relação de desigualdade entre as potências se inverte entre os expoentes.

Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!

No próximo post veremos: Logarítmos - 1º Parte.

Referencias: 

BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy; DE SOUZA, Paulo Roberto Câmara. Prisma Matemática: Funções e Progressão. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020.