Função Quadrática - 11 assuntos

1 - Função Quadrática

A função quadrática também pode ser denominada função polinomial do 2° grau, pois as relações entre a variável dependente e a variável independente são expressas por polinômios do 2° grau.

Uma função f: R → R, definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0, é chamada de função quadrática.

Os números a, b e c são os coeficientes (ou parâmetros) da função, sendo que a é o coeficiente do termo x², b é o coeficiente do termo x e c é o coeficiente independente.

ex: 

Não são leis de funções quadráticas:

ex: 

2 - Zeros da Função Quadrática

Para determinar os zeros de uma função quadrática, devemos proceder de maneira análoga: os zeros da função quadrática dada por y = ax² + bx + c são as raízes da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0.

E uma das formas de achar os zeros da função é aplicar uma fórmula resolutiva, também conhecida como fórmula de Bhaskara, na qual os coeficientes a, b e c são utilizados.

E a sua fórmula é: 

ex: 

3 - Equações do 2° grau Incompletas

As equações do 2˙ grau incompletas são aquelas em que algum dos coeficientes, b ou c ou ambos, são nulos. Quando isso acontece, além da fórmula resolutiva, podemos resolvê-las utilizando fatoração, conforme cada caso a seguir.

1° caso: quando b = 0

ex: 

Nesse caso, para existir uma solução real, devemos ter -c/a > 0.

 2° caso: quando c = 0

ex: 

Logo, x = 0 ou x = -b/a. 

3° caso: quando b = 0 e c = 0

ex: 

4 - Equação do 2° grau Completa

Quando resolvemos a equação do 2° grau completa ax² + bx + c = 0, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0, utilizando a fórmula resolutiva, deparamos com uma das três situações a seguir.

I. Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais e distintas. Portanto, a função quadrática correspondente tem dois zeros:

ex: 

II. Se Δ = 0, então a equação possui duas raízes reais iguais. Portanto, a função quadrática correspondente tem um único zero:

ex: 

III. Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais. Portanto, a função quadrática correspondente não tem zero.

5 - Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2° grau

Considerando x‘ e x" as raízes reais da equação ax² + bx + c = 0, ou seja, x‘ = -b + √Δ / 2.a.

x" = -b -√Δ / 2.a, podemos calcular a soma e o produto dessas raízes.

x' + x" = -b + √Δ / 2.a + -b -√Δ / 2.a → x' + x" = -2b/2a → x' + x" = -b/a

x' . x" = -b + √Δ / 2.a . -b -√Δ / 2.a → x' . x" = b² - Δ / 4a ² → x' . x" =  b² -( b² - 4ac)/ 4a² → x' . x" = 4ac/4a² → x' + x" = c/a

Portanto, a soma e o produto das raízes de uma equação do 2° grau são, respectivamente: 

x' + x" = -b/a     e     x' + x" = c/a. 

6 - Vértice da parábola

No caso do gráfico de uma função polinomial do segundo grau h(x) = ax² + bx + c, esse ponto tem coordenadas (Xv, Yv ), é chamado vértice da parábola, e o eixo de simetria da parábola é uma reta perpendicular ao eixo x que passa por esse ponto.

Para achar essas coordenadas do vértice da parábola precisamos das seguintes fórmulas: 

-b/2a, -Δ/4a

7 - Crescimento e Decrescimento da Função Quadrática

Considerando uma função quadrática definida por f(x) = ax² + bx + c, sabemos que a parábola correspondente ao gráfico dessa função terá a concavidade voltada para cima se a > 0 e que terá a concavidade voltada para baixo se a < 0.

De forma geral, o crescimento e o decrescimento da função quadrática com base no valor de a e na abscissa Xv do vértice da parábola. 

ex: 

• A função f é decrescente no intervalo ] -ꝏ, xV].

• A função f é crescente no intervalo [xV, +ꝏ [.

• A função f é crescente no intervalo ] -ꝏ, xV]. 

• A função f é decrescente no intervalo [xV, + ꝏ [.

8 - Valor Mínimo e Valor Máximo da Função Quadrática 

O gráfico de uma função quadrática f, dada por f(x) =  ax² + bx + c, consideramos o sinal do coeficiente a para identificar se a concavidade da parábola será voltada para cima ou voltada para baixo.

Se fizermos um esboço, podemos verificar, entre outras propriedades, que a função f tem um valor mínimo ou um valor máximo, que corresponde à ordenada do vértice da parábola.

Nesse caso, se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima e temos três situações possíveis para o gráfico:

ex: 

Observe que, nos três casos, o vértice V da parábola é o ponto cuja ordenada é o menor valor assumido pela função para todo x ∈ D(f), chamado também de ponto de mínimo da função. A ordenada de V, que pode ser obtida por Yv = - Δ/4ac, é o valor mínimo da função, que ocorre quando Xv = - b/2a. 

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo e temos outras três possibilidades para o gráfico da função: 

ex: 

Considerando esses três casos, o vértice V da parábola é o ponto cuja ordenada é o maior valor assumido pela função para todo x ∈ D(f), chamado também de ponto de máximo da função. A ordenada de V, que pode ser obtida por Yv = - Δ/4ac, é o valor máximo da função, que ocorre quando Xv = -b/2a.

9 - Imagem da Função Quadrática 

Utilizando as coordenadas do vértice da parábola correspondente ao gráfico de uma função quadrática f, podemos determinar o seu conjunto imagem.

Quando a > 0, o vértice V é o ponto de mínimo da função e Yv = - Δ/4a é o valor mínimo que a função assume, ou seja, é o menor valor de imagem da função.

E quando a < 0, o vértice V é o ponto de máximo da função e Yv = - Δ/4a é o valor máximo que a função assume, ou seja, é o maior valor de imagem da função.

ex: 

■ Quando a > 0, Im(f) = {y E R | y  ≥ yV}.

■ Quando a < 0, Im(f) = {y E R | y ≤ yV}.

10 - Estudo do Sinal da Função Quadrática

O estudo do sinal de uma função quadrática pode ser feito observando o esboço de sua representação gráfica.

De acordo com a concavidade da parábola, relacionada com o coeficiente a, e com a quantidade de zeros da função, relacionada com o valor de Δ, podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática e fazer o estudo de sinais.

Obs: 

• Considerando a > 0, temos as seguintes possibilidades:

ex: 

Obs: 

• Considerando a < 0, temos as seguintes possibilidades:

11 - Inequações do 2° grau

Denominamos inequação do 2° grau na incógnita x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas a seguir, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0.

ex: 

Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!! 

No próximo post veremos: Comportamento gráfico das funções.

Referencias: 

BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Giovanni; DE SOUZA, Paulo Câmera. Prisma matemática: Conjuntos e Funções. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020. v. 1.