Função Afim - 10 assuntos

 Hoje nós iremos falar sobre a função afim e suas propriedades. 

1 - Função Afim

Uma função f: R →   R definida por f(x) = ax + b, com a e b reais, é chamada de função afim.

ex: 

x é a variável independente e y é a variável dependente na função afim dada por y = ax + b. Ao atribuir valores para a variável independente x, obtemos y, o valor da função.

Observe este exemplo: 

Considerando a função dada por f(x) = 5x + 1, podemos calcular f(3) da seguinte maneira:

f(3) = 5 . 3 + 1 → f(3) = 16

Portanto, 16 é o valor da função f para x = 3.

Em uma função afim dada por f(x) = ax + b, os números reais a e b são chamados coeficientes e, de acordo com seus valores, a função afim recebe alguns nomes particulares que estudaremos a seguir.

2 - Função Polinomial do 1º grau

Quando o coeficiente a da função afim é diferente de zero, a função recebe o nome de função polinomial do 1° grau, pois a relação entre a variável dependente e a variável independente é expressa por um polinômio do 1° grau.

Uma função f: R →   R definida por f(x) = ax + b, com a e b reais e a a ≠ 0, é chamada de função polinomial do 1° grau.

ex: 

3 - Função Identidade 

Quando a = 1 e b = 0, a função polinomial do 1° grau é expressa pela lei f(x) = x e é chamada função identidade. 

A função f: R →   R definida por f(x) = x é chamada de função identidade.

A função identidade recebe esse nome, pois associa cada valor de x ∈ R a ele mesmo. 

ex: 

4 - Função Linear

Uma função f: R →   R definida por f(x) = ax, com a real, é chamada de função linear.

ex: 

5 - Função Linear e Proporcionalidades 

Em uma função linear, cuja lei de formação é dada por y = ax, com a 0, quando a ≠ 0, dizemos que as variáveis x e y representam grandezas diretamente proporcionais. A constante de proporcionalidade k é o coeficiente a da função.

6 - Função Constante 

Outro tipo de função afim é a função constante, definida a seguir.

A função f: R →   R definida por f(x) = b, com b real, é chamada de função constante.

A função constante associa cada valor de x ∈ R sempre ao mesmo valor b. Nesse caso, o conjunto imagem da função constante é Im(f) = {b}. 

ex: para a função constante f dada por f(x) = 12, todos os elementos de D(f) têm imagem igual a 12. 

7 - Zero da Função Afim 

Em uma função f: A →   B, um valor de x ∈ A tal que f(x) = 0 é chamado zero da função f.

da função afim, definida por f(x) = ax + b, quando a ≠ 0, resolvemos a equação f(x) = 0, ou seja, ax + b = 0 para determinar o zero da função f. Nesse caso, temos:

ax + b = 0 → ax = -b → x = -b/a

quando a ≠ 0, o zero de uma função afim é dado por x = -b/a. O zero da função afim é a abscissa do ponto em que o gráfico cruza o eixo x, como indicado na figura.

ex: 

obs:

b ≠ 0: nesse caso, temos uma função constante cujo gráfico não cruza o eixo x e, portanto, não há zero da função;

b = 0: nesse caso, temos uma função constante dada por y = 0, conhecida também como função nula, cujo gráfico é uma reta coincidente com o eixo x e, portanto, todo x ∈ R é zero da função nula.

8 - Crescimento e Decrescimento da Função Afim

Uma função f é crescente em um intervalo [a, b] de seu domínio D(f) quando, para quaisquer valores de x1 < x2 desse intervalo, com x1 < x2, temos f(x1), f(x2).

Uma função f é decrescente em um intervalo [a, b] de seu domínio D(f) quando para quaisquer valores de x1 < x2 desse intervalo, com x1 > x2, temos f(x1). f(x2).

No caso da função afim, podemos determinar se ela é crescente ou decrescente com base no sinal do coeficiente a na lei de formação y = ax + b.

De modo geral, para uma função afim definida por f(x) = ax + b, temos:

ex: 

Podemos também identificar se uma função afim é crescente ou se é decrescente observando a inclinação da reta que constitui o gráfico da função.

9 - Estudo do Sinal da Função Afim

Para saber o sinal de uma função temos que verificar os elementos do seu domínio para os quais a imagem pela função é um valor positivo, um valor negativo ou um valor nulo. 

Considerando uma função f, de domínio D(f), temos:

f é positiva para os valores de x ∈ D(f) em que f(x) > 0; 

f é negativa para os valores de x ∈ D(f) em que f(x) < 0;  

f é nula para os valores de x ∈ D(f) em que f(x) = 0 (zeros da função).

Para estudar o sinal de uma função afim dada por f(x) = ax + b, considerando a ≠ 0, podemos inicialmente determinar o zero da função, que genericamente pode ser escrito como x = -b/a. 

desenhamos um esboço do gráfico da função afim, levando em consideração o fato de ela ser crescente (a > 0) ou ser decrescente (a < 0). Por fim, analisamos esse esboço, como indicado a seguir.

ex: 

obs: 

• Se a = 0 e b ≠ 0, a função afim é a função constante dada por f(x) = b. Nesse caso, temos:

ex:

• Se a = 0 e b = 0, a função afim é a função nula dada por f(x) = 0. Portanto, a função é nula para todos os valores de x do domínio.

10 - Inequações do 1° grau

Denominamos inequação do 1° grau na incógnita x toda desigualdade que pode ser escrita em uma das formas a seguir, com  

a, b ∈ R e a ≠ 0:

ex: 

Caso a inequação não esteja em uma das formas indicadas, podemos manipulá-la algebricamente para, em seguida, resolvê-la. 

ex: 

Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!

No próximo post veremos: Função Quadrática - 11 assuntos.

Referencias: 

BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Giovanni; DE SOUZA, Paulo Câmera. Prisma matemática: Conjuntos e Funções. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020. v. 1.