Progressão Aritmética - 2 assuntos

 Progressão Aritmética - (P.A)

Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo,

é obtido pela adição do termo anterior a uma constante r, chamada de razão da progressão.

Podemos classificar uma P.A de acordo com o valor da razão r:

• se r > 0, a PA é chamada de crescente;

• se r < 0, a PA é chamada de decrescente;

• se r = 0, a PA é chamada de constante.

Como a razão de uma progressão aritmética é a constante r que adicionamos a cada termo para obter o termo seguinte, podemos determiná-la, a partir do segundo termo, calculando a diferença entre cada

termo e o anterior.

Assim, dada uma PA genérica infinita (a1 , a2, a3, ..., an , an + 1, ...), temos:

ex: 

obs: O mesmo raciocínio vale para a PA genérica finita (a1 , a2, a3, ..., an , an + 1).

ex: 

Termo Geral de Uma PA

Vamos considerar a representação genérica de uma progressão aritmética infinita, de razão

r, dada por:

ex: 

De acordo com essa sequência, temos: 

• a2 = a1 + 1 . r

• a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2 . r

• a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3 . r

Há uma relação entre o índice do termo e o fator que multiplica a razão da progressão:

• a2 = a1 + 1 .  r = a1 + (2 - 1) . r

• a3 = a1 + 2 .  r = a1 + (3 - 1) . r

• a4 = a1 + 3 .  r = a1 + (4 - 1) . r

Uma vez que e ssa relação também vale para uma PA genérica finita

(a1 , a2, a3, ..., an , an + 1), é possível perceber que o enésimo termo de uma

PA qualquer pode ser escrito como a soma do primeiro termo com o

produto da razão pelo fator (n -1). Portanto:

ex: 

em que:

an é o termo geral (ou enésimo termo);

a1  é o primeiro termo;

n é a ordem do termo;

r é a razão.

Essa expressão é conhecida como fórmula do termo geral da PA.

Soma dos termos de uma PA

 Considere a PA (6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34). Nela, podemos destacar as seguintes informações:

• 6 e 34 são os termos extremos cuja soma é 40;

• as duplas 10 e 30, 14 e 26, 18 e 22 são termos equidistantes dos extremos; a soma de cada dupla

equidistante também é 40.

Essa é uma propriedade das progressões aritméticas finitas: a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

a sua fórmula é:

ex: 

em que:

Sn é a soma dos n termos;            a1 é o primeiro termo;

an é o enésimo termo;                 n é o número de termos. 

Progressão aritmética e Função afim

Considerando o domínio de uma função f os números naturais

não nulos, a lei que relaciona qualquer n ∈ D(f) a f(n) é f(n) = cn + d e

podemos escrever:

• para n = 1 ➡ f(1) = 1c + d = c + d = a1

• para n = 2 ➡ f(2) = 2c + d = c + (c + d) = c + a1 = a2

• para n = 3 ➡ f(3) = 3c + d = c + (2c + d) = c + a2 = a3

Assim, obtemos:

f(n) = cn + d = an

f(n + 1) = c(n + 1) + d = an + 1, ou seja, f(1), f(2), ..., f(n), ... formam

uma PA de razão c.

Calculando a diferença entre an + 1 e an , temos:

an + 1 _ an = c(n + 1) + d _ (cn + d) = cn + c + d _ cn _ d = c.

Logo, considerando a sequência (a1 , a2, a3, ..., an , an + 1, ...), a diferença entre cada termo e o

anterior é constante e igual a c, ou seja, toda função afim f de n* em r definida por f(n) = cn + d,

é uma PA de razão c.

Em particular, se c = 0, teremos f(n) = d para todo n, que é uma função constante. Nesse

caso, essa função determina a PA constante (d, d, d, d, ...) cuja razão é zero.

Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!

No próximo post veremos: Progressão Geométrica - 2 assuntos.

Referencias: 

BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy; DE SOUZA, Paulo Roberto Câmara. Prisma Matemática: Funções e Progressão. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020.