Fermat e os Lugares Geométricos - Síntese
Pierre Fermat
- Nasceu no dia 17 de agosto de 1601;
- Nascido na cidade de Beaumont-de-Lomages, França;
- Foi advogado e oficial do governo em Toulouse.
Fermat e sua ligação com a Matemática.
Fermat foi muito influenciado pelas as traduções das obras gregas, sendo mais específica, com a de Apolônio, e logo se familiarizou com o fato de que uma curva sempre terá relação entre duas quantidades indeterminadas. Desde o início, a sua intenção era realizar um estudo geral dos lugares geométricos.
Em sua primeira obra, que se chama Ad locos planos et sólidos isagoge (Introdução aos lugares geométricos planos e sólidos) foi escrita provavelmente no ano de 1636, sendo contemporânea a de Geometria de Descartes, porém elas não se influenciaram mutuamente, mesmo ambas introduzirem coordenadas para resolver problemas geométricos.
Na geometria analítica que conhecemos hoje consiste em duas associações recíprocas: (i) que é dado a um lugar geométrico para encontrar a equação em que seus pontos se satisfazem, e (ii) é para uma equação onde encontra o lugar geométrico dos pontos que a satisfazem. Na introdução aos seus estudos Fermat fala: “Sempre que em uma equação final, duas quantidades desconhecidas são encontradas, e temos um lugar geométrico e a extremidade de uma delas descreve uma linha reta ou curva.”
Se NZM está em uma reta com um ponto N fixo, e NZ igual à quantidade desconhecida, e ZI (reta traçada para formar o ângulo NZI) a outra quantidade desconhecida E. Se D . A é igual a B . E, o ponto I descreve uma reta.
Para chegar a esta conclusão, basta observar que D . A = B . E implica que B : D = A : E. Mas B : D é conhecida, pois envolve quantidades conhecidas, já A : E contém quantidades desconhecidas que também será determinado do mesmo modo que o triângulo NZI. Se prestarmos atenção ele apenas utiliza um eixo coordenado e a reta que é gerada pela extremidade I no segmento variável ZI quando Z se move ao longo do eixo.
Depois ele passou a estudar as equações de segundo grau. Fermat mostra que o lugar geométrico dos pontos que resultam na equação é um círculo ou uma cônica. Ele concluiu que se os eixos coordenados forem dados em posição e os coeficientes da equação dados em magnitude, os parâmetros que definem a cônica serão dados em posição e magnitude.
Ele usou técnicas algébricas para definir cônicas e estudar as suas interseções aplicando a resolução de problemas sólidos. Em problemas Fermat explica que, dada a uma equação de grau três ou quatro em uma variável, era preciso determinar o valor da incógnita x. Fermat escreveu duas equações de segundo grau em duas variáveis x e y, tomadas como coordenadas dos pontos de interseção de cônicas. Um dos exemplos em que este método pode ser aplicado é o da construção de duas meias proporcionais, ou seja, dados os segmentos a e b, encontrar x e y tais que a:x:: x:y:: y:b.
Depois de muito estudo Fermat criou a solução da equação cúbica obtida a partir do problema de duas meias proporcionais. Esse método de forma resumida é: dada uma equação cúbica com uma incógnita, obtemos duas equações quadráticas com duas “incógnitas” que correspondem a cônicas e resolve-se o problema construindo a interseção dessas cônicas.
Usou uma notação próxima de Viète, onde ele combina os objetivos de investigar problemas clássicos de lugares geométricos e construir soluções de equações cúbicas e quadráticas pela interseção de cônicas.
Descartes deduzia equações para resolver problemas geométricos e não estava interessado em estudar as equações por si mesmas. Já Fermat aceitava a análise algébrica como tópico matemático autônomo, independente da geometria, o que não era uma atitude comum na sua época.
Foi isso meu povo, espero que tenham gostado!!
Comentários
Postar um comentário